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Answer:
El área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm es 18 cm^2.
Step-by-step explanation:
Supongamos que los dos catetos son "x" y "y".
La suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm:
(1) x+y=12
El área del triangulo rectángulo puede determinarse con la siguiente formula:
(2) A=(1/2) x y
Si de la ecuación (1) despejamos y:
(1) x+y-x=12-x→y=12-x
y la sustituimos en la ecuación (2):
(2) A=(1/2) x (12-x)
Si hacemos el producto de los términos del lado derecho de la ecuación de arriba:
(2) A=(1/2) (12x-x^2)
(2) A=(1/2)(12x) - (1/2)(x^2)
(2) A=6x-(1/2) x^2
(2) A= -(1/2) x^2 + 6x
Esta es una ecuación cuadrática cuya gráfica es una parábola, y como el coeficiente de la x^2 es negativo (-1/2), la parábola se abre hacia abajo y en el vértice ocurre un valor máximo del área. El valor de la abscisa del vértice (h) puede hallarse con la siguiente fórmula:
y=ax^2+bx+c→h=-b/(2a); a=-1/2, b=6
h=-6/[2(-1/2)]→h=-6/(-1)→h=6
Y el valor máximo del área se halla sustituyendo en la ecuación (2) la variable x por el valor de h=6:
(2) Amáx = -(1/2) (6)^2+6(6)
Amáx = -(1/2) (36)+36
Amáx=-18+36
Amáx=18 cm^2
Respuesta: El área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de tal manera que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 12 cm es 18 cm^2.
