contestada

Use partial fractions to find the indefinite integral. (Remember to use absolute values where appropriate. Use C for the constant of integration.) 1 /x^2 − 49 dx

Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \frac{1}{14} \bigg( \ln |x - 7| - \ln |x + 7| \bigg) + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Algebra I

Terms/Coefficients

  • Expanding/Factoring

Pre-Calculus

  • Partial Fraction Decomposition

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Derivative Property [Addition/Subtraction]:                                                         [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] + \frac{d}{dx}[g(x)][/tex]

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integration

  • Integrals
  • [Indefinite Integrals] integration Constant C

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                       [tex]\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

  1. [Integrand] Factor:                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \int {\frac{1}{(x - 7)(x + 7)}} \, dx[/tex]
  2. [Integrand] Split [Partial Fraction Decomp]:                                                 [tex]\displaystyle \frac{1}{(x - 7)(x + 7)} = \frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 7}[/tex]
  3. Rewrite:                                                                                                         [tex]\displaystyle 1 = A(x + 7) + B(x - 7)[/tex]
  4. [Decomp] Substitute in x = 7:                                                                       [tex]\displaystyle 1 = A(7 + 7) + B(7 - 7)[/tex]
  5. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle 1 = 14A[/tex]
  6. Solve:                                                                                                             [tex]\displaystyle A = \frac{1}{14}[/tex]
  7. [Decomp] Substitute in x = -7:                                                                       [tex]\displaystyle 1 = A(-7 + 7) + B(-7 - 7)[/tex]
  8. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle 1 = -14B[/tex]
  9. Solve:                                                                                                             [tex]\displaystyle B = \frac{-1}{14}[/tex]
  10. [Split Integrand] Substitute in variables:                                                     [tex]\displaystyle \frac{1}{(x - 7)(x + 7)} = \frac{\frac{1}{14}}{x - 7} - \frac{\frac{1}{14}}{x + 7}[/tex]

Step 3: Integrate Pt. 2

  1. [Integral] Rewrite [Split Integrand]:                                                               [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \int {\bigg( \frac{\frac{1}{14}}{x - 7} - \frac{\frac{1}{14}}{x + 7} \bigg)} \, dx[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Addition/Subtraction]:               [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \int {\frac{\frac{1}{14}}{x - 7}} \, dx - \int {\frac{\frac{1}{14}}{x + 7}} \, dx[/tex]
  3. [Integrals] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:               [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \frac{1}{14}\int {\frac{1}{x - 7}} \, dx - \frac{1}{14}\int {\frac{1}{x + 7}} \, dx[/tex]
  4. Factor:                                                                                                           [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \frac{1}{14} \bigg( \int {\frac{1}{x - 7}} \, dx - \int {\frac{1}{x + 7}} \, dx \bigg)[/tex]

Step 4: Integrate Pt. 3

Identify variables for u-substitution.

Integral 1

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = x - 7[/tex]
  2. [u] Differentiate [Basic Power Rule, Derivative Properties]:                      [tex]\displaystyle du = dx[/tex]

Integral 2

  1. Set z:                                                                                                               [tex]\displaystyle z = x + 7[/tex]
  2. [z] Differentiate [Basic Power Rule, Derivative Properties]:                       [tex]\displaystyle dz = dx[/tex]

Step 5: Integrate Pt. 4

  1. [Integrals] U-Substitution:                                                                             [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \frac{1}{14} \bigg( \int {\frac{1}{u}} \, du - \int {\frac{1}{z}} \, dz \bigg)[/tex]
  2. [Integrals] Logarithmic Integration:                                                               [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \frac{1}{14} \bigg( \ln |u| - \ln |z| \bigg) + C[/tex]
  3. [Variables] Back-Substitute:                                                                         [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^2 - 49}} \, dx = \frac{1}{14} \bigg( \ln |x - 7| - \ln |x + 7| \bigg) + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

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